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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 N3-4`kf  
guqG6w9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \XgdDiPj  
3  k[6z  
　　1、三角函数本质： m1u>hmj  
a~xEclB  
　　三角函数的本质来源于定义 HHHxnT  
MM 8sSU  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k,!r8\|yE  
;?nb`VFr  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 l_OS.|V  
>IC?%eAR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： AmFvGD~Gw  
2Z,])HmOd$  
　　推导： uR39 Dcyj  
&\M4VddT  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +}|uygG+  
/j$A4d  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) q~ ]R]w3O  
]U\)=]NF  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) z?ZWxs=f  
Oc n~^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 d qkjJn  
0D{$=r  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]KLt ENn  
65}[60wp?  
　　[1] yJVd1yH&  
f J9pM3  
　　两角和公式 |r%.P+[  
DfUx( IjU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /26K^p k  
aj<iy* C  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  D-{v-yj  
~ :VT-z3\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB M"2hte^!\  
m[jY!T "X  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GC;)JH`&.K  
Znu[.?*  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (X)[+J.?  
#sjO0c  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) wy %1Zb\a  
qvs5RAK(dT  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  q~lSH  
"Zk+<< 5b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) X>=O[w#Q z  
D|V`$B%  
倍角公式 J4Z|S:  
)Z!e.'}Is  
　　Sin2A=2SinA•CosA Wti+  
Gt{7VX M  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :o-=}tT;  
E}(>P<u#-  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |H\ 7C=',  
# uK1*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  YEYBX#  
64:WpvK}b#  
三倍角公式 ;""7[ql  
kFc{b'w  
　　 a6* tg^:qA  
S|?dd#Cr/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $uXLLSh  
/dTK7s6^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) %OMH"614  
PU51s]EdF  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) @Vi'D+m.  
&u],-h? &  
三倍角公式推导 uxad66;  
@r}V}b-q  
　　sin3a /1@7hfv=  
"jEbS~8z2  
　　=sin(2a+a) @]uU4=|  
li9(8{5A  
　　=sin2acosa+cos2asina 6A}u;M8zM:  
h-;~igR  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "+ua5  
e}p:8,]cu  
　　=3sina-4sin³a as|gG4 @)  
6srrU4:  
　　cos3a @b3 ~K  
a4p_2d  
　　=cos(2a+a) U(adDkO  
g4J :u) T  
　　=cos2acosa-sin2asina /NBehjj2  
d &Lt8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa *ojD{H)  
w NCn8l  
　　=4cos³a-3cosa *f;l3n}K  
?lCP$w9'l  
　　sin3a=3sina-4sin³a *m}cXQ%.  
TQNP]=a  
　　=4sina(3/4-sin²a) o)Daz  
(9-k[pc9  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] /tkY>j<G  
RO<Kb(6  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) f  E4f  
uR6:30x"r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %h UHHYqQ  
o'EDC)K_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] U?6"e:)  
cA-)k*t  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) % e); '/$  
NG2UgJB&0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa $?07j+  
y\hm28@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) T[.uSz7  
nwk^ JxS  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ?9CAI}?  
MkMqa@Uu  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) L3w :3IT  
.cwv\ k  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1A\%iTI  
^D)1lc]B  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} i)aQ=ZJ+  
Hg{6qHxQ8  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +5O.e7Je  
hXqUVU aU  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 3g;eQR qS  
*Jm&UT  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] \nqp"hLr  
:X;~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >&ait}iW  
 bX=wS  
　　上述两式相比可得 \63<)([H4e  
nXc`!bJ5B  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \/BVA8L<  
6(F,n[  
半角公式 U'cjk"&  
 p-<acb  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); n_T*"J  
bvh8k`Mr  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 06ZpO\w&  
NQ(nww{p X  
和差化积  {a4b7  
lzlo~WA( <  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D*^qC'^d  
XT16a;{T  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /pb\ 8mx  
q}%633K9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >hT` V[*  
Ys .&$~E  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <]TH/n]*  
8p,NLt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ja, Je)  
I Ij^i5"(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ht!Q+C=K*  
O` ix#Bk9  
积化和差 0R&"~Yk Y  
6Nd$XL  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] p3'K' t`y  
BI7~UGJ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?2 F~dv2  
.i_}@ #  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4Y',*LV-1  
OYnV4  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,xoE c:[:  
_#I9Z T2  
诱导公式 _7[|tdp7-o  
<s7$M *  
　　sin(-α) = -sinα }~j>sUXn%  
&I& &oRRL  
　　cos(-α) = cosα g"1N-{  
tcb +08  
　　sin(π/2-α) = cosα QhG ;-+H  
 pXvXfyb(  
　　cos(π/2-α) = sinα 1D7v-o8  
rzz$54V  
　　sin(π/2+α) = cosα qYoL+9"  
xul')[w"  
　　cos(π/2+α) = -sinα JIq+HaC\=  
U\}IR]w:  
　　sin(π-α) = sinα :^hz"H &F  
[=n;'\K7D  
　　cos(π-α) = -cosα w"6hKr1N.  
~QP0beL  
　　sin(π+α) = -sinα 8qy>GB (  
{7X8QJ!W=2  
　　cos(π+α) = -cosα Ky3svb 6U!  
Jge=-yLr  
　　tanA= sinA/cosA Rt?B&Nm  
r[{ 5  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα l @. oYF3  
@%Uve{V)  
　　tan（π/2－α）＝cotα }P%?PPf  
\8R?0>  
　　tan（π－α）＝－tanα ikjU,$} d  
$065 ;!  
　　tan（π＋α）＝tanα {2.b,C ~4  
g0E J LRu  
万能公式 +n;@Jq  
}6HJj {)  
　　 qf%w  
9p [gr: ,  
其它公式 cL2l$U3n  
KF "BeV  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 :8+x_1^Hj  
_*dv]&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 XMX{lH"  
$FI{^QY"_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ]nty->; j  
i"M h"&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 0["a !nmr  
pQv,$W  
　　对于任意非直角三角形,总有 4o1. d  
vmZ[Ruq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W0G)&]  
f_Y8% "C  
　　证: ":/d?DN :[  
lGn%4B8Fo  
　　A+B=π-C <F]hhe:sa  
W%<]0z0NB  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 59Ysz3  
rt7J 7dt  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y"]OIb0  
>mvwRTJ}6  
　　整理可得 ]3+)6"[4  
2]DvT}[QR  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (l|Hb lTJ  
Y&adGJ.O1i  
　　得证 8>7'~>t  
ml.he4E  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 hXn5of.H  
g"B s"zx  
其他非重点三角函数 @6J 7V8C  
2Db@Zh__  
　　csc(a) = 1/sin(a) LvHNXSg!I  
X1Z$?aW  
　　sec(a) = 1/cos(a) e_A~,Y`n]  
5I(h4  
　　 3{? pkms>  
YyJ UB  
双曲函数 ;pZr`P$?  
cWX<deI:  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 z'#eeg_eF  
L:%aUbO  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 di3F8vAX:  
W/A|Bx6  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N(&bwo)6  
k~< bWu  
　　公式一： m.*UZa}\d  
JA{!k4U  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： YG J oPt  
Z>DV |ffW  
　　sin（2kπ＋α）= sinα oQVFn.v.  
Yj%.Bs5j>i  
　　cos（2kπ＋α）= cosα U(k^ ("d)  
s:-Ye,c#M  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;G9  
Zb;q]T  
　　cot（kπ＋α）= cotα La7*' /j  
x]+51!QO.  
　　公式二： _]Q@'  
-&=#;KB  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： o)y3&]"  
X0\h.p- 79  
　　sin（π＋α）= -sinα XYwCZZrEi  
3Nm6y?Nv}  
　　cos（π＋α）= -cosα Je{Wpx  
.c > t  
　　tan（π＋α）= tanα SqOWs"  
] 5 @]bj7  
　　cot（π＋α）= cotα #)]n<h  
H[&fe-=%s9  
　　公式三： )KW[pw  
U<V<>S  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >G;8P)q  
)H1`Y{*zY(  
　　sin（-α）= -sinα n w&U)$  
]UnmF%2  
　　cos（-α）= cosα Zl8Twelvl  
P^VB N-W+  
　　tan（-α）= -tanα )vHc]  
2CBcri+nR  
　　cot（-α）= -cotα kGg|3  
?Y%*mf4E  
　　公式四： Y//.\[#>,.  
e|JK35Q+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 5C) "(a  
&f?Ucp)  
　　sin（π-α）= sinα .%#x*zdX  
tfg~`  
　　cos（π-α）= -cosα WYU  
qYt JzZn@  
　　tan（π-α）= -tanα JXVe|0[j  
.i3 UX |  
　　cot（π-α）= -cotα igU$#@Y4d  
]47:> / uE  
　　公式五： s3>x;x^"  
o`) i o  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： AnI}Zia  
*<fCiI=,  
　　sin（2π-α）= -sinα 7Y_r0}  
$3L3>Cl1  
　　cos（2π-α）= cosα Lqima4>w  
G'n2(Bcqa  
　　tan（2π-α）= -tanα ',$` 0{  
}z3D m1G  
　　cot（2π-α）= -cotα .{7H E>10  
j TOH1J  
　　公式六： n\E9X*b  
;oV|b1V  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： >`^R%X  
->yT;%2Ayb  
　　sin（π/2+α）= cosα @T)7u64\  
Co@#yXS@E  
　　cos（π/2+α）= -sinα ZYX0ly"1.  
.wr03ae0  
　　tan（π/2+α）= -cotα N|yBUX~  
!B@S{u Ro  
　　cot（π/2+α）= -tanα '9}.hj  
4QSk\Dh,l  
　　sin（π/2-α）= cosα ;z;uurq  
Cv@^|aY  
　　cos（π/2-α）= sinα $ wy:a9 c  
$4q Va>~,  
　　tan（π/2-α）= cotα NiR"Qsx   
(;?o"J  
　　cot（π/2-α）= tanα ^5(\RfK]  
};hrr\2j  
　　sin（3π/2+α）= -cosα eBkV=8MY8  
~GxGWp[P^  
　　cos（3π/2+α）= sinα _MzGu%6d  
g_M &Ag<  
　　tan（3π/2+α）= -cotα /zv],wcC`^  
m8Ff+YT<H  
　　cot（3π/2+α）= -tanα D7Vh9 !r2  
dctl'!=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]wa N{01  
pc~I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα > #q55u,'  
Fof*/Xd]n  
　　tan（3π/2-α）= cotα +lA1^F  
VK-u$03v]/  
　　cot（3π/2-α）= tanα j$ `[}^  
f {NaD  
　　(以上k∈Z) 5N7qT:4^<  
gcE=]D3C  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 %\6]Z6,\^  
F[]8s  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6\P4QUN  
C3v%B c_<  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,@Z9Ie"  
cs ).}0!P  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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