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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 =e, m{>c  
gRQ *+ ggq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. "{>^aW;-t  
?#Y8l9W76c  
　　1、三角函数本质： Kc &w #Y  
{Vbji 5  
　　三角函数的本质来源于定义 #"N&Dbkp#X  
=IJ@7~;  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4k7Bt|  
0!'YGY8#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 @K&wQeNiql  
}!Dm,("a%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： @a\J^[  
UMjN=[W  
　　推导： -HC1 v$p  
rM% 3C>*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8J'[9 d)F  
l#e {zRj  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) eI x\cmm  
)\>10$n:  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]Dfhtf [J  
Fq.x Ze  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W\76OJ+<  
Q-MyF  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^}%Pfg5  
u3g^9zp  
　　[1] 7iP6s`WA)  
TA[% Y(6@  
　　两角和公式 kabk:g[  
Z{"5!Zr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Rtw O]3  
UC`r:\$P  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  swb \:*  
uywhCL  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1AnJBxy^  
C:@oASx  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g+<+*oq$@;  
mQfR YSf  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 6YX#?  
u]LeA3(u4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 8@3"DTN'  
|CkIE 1:  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _J1 &st  
ps :*g'S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) NH"v$?#|  
SRqlUw]gh  
倍角公式 c=94B=|>  
[kq_b1  
　　Sin2A=2SinA•CosA (VK\nw+#  
5UNc>\g  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +yoy[l'r  
H[f@"o{!  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Nq tzTmy/-  
]=x a#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） kt|Civ  
dV S_[d\R  
三倍角公式 p-Dk(S<  
.B=)b&B=  
　　 XIX*)D  
t J<4C*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lar %  
v?FR:jPD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) };53 !   
?|Z$MD  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F%,|1pK{c  
NvlbY"  
三倍角公式推导 ?w|`) &  
(3K|SVl  
　　sin3a t1=<%uEq#T  
-vyM,.  
　　=sin(2a+a) j rYKkO  
eU@uFs6  
　　=sin2acosa+cos2asina YNZM  
X%< N*Z-hw  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /,V](H$  
*-N,Y%IT  
　　=3sina-4sin³a -AMI9"Yy  
./I}`q$ /  
　　cos3a iDveF:O|  
1wG$^b  
　　=cos(2a+a) 2%vBF $Q|  
r~tCG Hz9I  
　　=cos2acosa-sin2asina 0pY-y"7Y  
lGphyJSD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4yR^ioD  
>x^M`toV  
　　=4cos³a-3cosa 2U~go5P'  
L=(qQL?-\  
　　sin3a=3sina-4sin³a 3D)s & '  
YxtrL6  
　　=4sina(3/4-sin²a) J9^j&rMDU  
HK.F%*x  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >wXfH:'Ri  
Mj#UyC|Q@  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) =x%:JZ5xY_  
Z&coe[y  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) T:H4\!  
m4i)SMs_^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] i!tvIW+R  
k1]K[x)l  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) L@w wf'G=&  
c^g\\N  
　　cos3a=4cos³a-3cosa h* V$rG;u  
M }I{&/  
　　=4cosa(cos²a-3/4) K9) XY  
5'IFec  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ImxYWQcj)  
-/:~H <`  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  0'N@<l  
$:PW7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) % 2R~PU<L  
Vz@s^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YpTCV,%  
L{u>WW Wu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /xXv~{o/R  
,{rc>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +w@(\/  
M:^ E2EWr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] rYpI@YY  
fx8/-'3  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) +Yt_'Dx=  
[*1fM z  
　　上述两式相比可得 _vJ;%$9q  
: <U'{m  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?L}A k9K  
|p9XT7J  
半角公式 =nDHiyZ:L  
t2 v N*  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /B'qH!P  
vNf6|nYB?l  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]o}!+   
/7m=^u B  
和差化积 t aCtdq,3^  
zz7>c&  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -rWL h)  
_%8-m+tI  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] C(^=+zp3{  
Y7b[B_0=z  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] IFGh7m  
XQm 8$Gi  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {E7/i >  
A I/W  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) sZq61J   
^tTym3   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ([/1m"L r  
R7!Uut  
积化和差 j"Wu/E  
EM6?)'Dwe  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] QP>Bg1"/  
pJK($O `  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] m}9#ma;O  
XLv@H \  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _{+ha>e2  
xmy,Du:Q{Z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @Y0Ggr)  
_"7 ,}NW  
诱导公式 $u:^Lk2  
j8OSMB?  
　　sin(-α) = -sinα K:}h%9  
<YRf$JyYu  
　　cos(-α) = cosα j&!}A(M  
G^W %[ ?  
　　sin(π/2-α) = cosα c|^0=A  
t^odq F/  
　　cos(π/2-α) = sinα ;:w` &  
sBi Rf*a  
　　sin(π/2+α) = cosα SSrS$UxrS  
o>ybMX}Z 6  
　　cos(π/2+α) = -sinα 0CG5M$`.  
'WK byRJ  
　　sin(π-α) = sinα S*D==i-J6z  
q"1NWS  
　　cos(π-α) = -cosα C;(47o H  
Y?yx:PH,  
　　sin(π+α) = -sinα }"ai'6lN)  
6sptyq9A6E  
　　cos(π+α) = -cosα 8kI"`]F  
HRU#>h7  
　　tanA= sinA/cosA }-O(;p6Vt  
0Q@ X!Far  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα x[u>xIR   
QrG@Q*BBz  
　　tan（π/2－α）＝cotα 'T\Z5'Gj  
&dCT?i  
　　tan（π－α）＝－tanα +>DB6,(Yf  
P|Lbo)q  
　　tan（π＋α）＝tanα TPVo>%  
T@@|FG  
万能公式 h=~yNi3  
VgRa}q  
　　 *}]i+u  
$/t<j%  
其它公式 O*;oHaI  
Y:I>$cB1>Z  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X AuhY'^  
b]cL+.n3JI  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 'F A (/  
fNxK Fu}  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 k>[1Nfc  
J]|%Rg.?Y  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 :B-K25]i  
!D y{ v  
　　对于任意非直角三角形,总有 r}6)>ge~  
W,'V(ly)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :5u+M'r'S  
s*w`C# !K  
　　证: BfOx;#yL{  
i:;S4]z  
　　A+B=π-C zYh ]=+9F  
{Av\U H  
　　tan(A+B)=tan(π-C) W?f7G0  
1$:UiWZ95  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) XfY=/L l  
> g7kd-x  
　　整理可得 cAXf+'Cm$  
a>#pz_\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC kz@iGbU  
_vLLwU~  
　　得证 F<DB"6[-  
[G&^bZV  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =)X 'u#1r  
V04_820  
其他非重点三角函数 v?E X;  
6~HtvTC!  
　　csc(a) = 1/sin(a) OqC'8p^  
pHMv=  
　　sec(a) = 1/cos(a) Z|Md55=  
ncNn!6p]G  
　　 P7.g 8Au{~  
LU3T:s9m  
双曲函数 ^Xpowlo  
h`q!:U}?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .[XUl{V  
5+ ywATxW  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~pu>s2kfO>  
F`3N?pk  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) aW g9WQ,5  
|7zU%&Zg'  
　　公式一： M/ *Tb0)n  
]}JgF?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Eo?hL}  
6WlERpW-Q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα .f.<Y@l  
W8'|) =A   
　　cos（2kπ＋α）= cosα 62\M{Z'  
U&kN>=;  
　　tan（kπ＋α）= tanα %SkPIuU  
lZjEg( $  
　　cot（kπ＋α）= cotα fq;X R}ld  
OGi3:JJ  
　　公式二： x$XW(Yypc  
iFY/q mp  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： O h AAJ^{  
.J,#kMbb  
　　sin（π＋α）= -sinα diF">5UM g  
t02AG  
　　cos（π＋α）= -cosα i,"M O*guI  
RyTda+yR,  
　　tan（π＋α）= tanα ?'-q`X  
.v,#lA{  
　　cot（π＋α）= cotα .aR(D+#4  
B/3h^:~fq  
　　公式三： lQJ`L.b:\  
@0P;t  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  y/ s{j  
L@G;f5z  
　　sin（-α）= -sinα `/js8Ek<  
0* O%.)I  
　　cos（-α）= cosα V$G/^p  
4 '+('k61  
　　tan（-α）= -tanα 6 &)xT!]  
Qq}au> _*  
　　cot（-α）= -cotα \mz@X/]  
V/$\~M#<  
　　公式四： q+]mN  
ttbv4b  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： gJxia5)x  
#C-7K?HR  
　　sin（π-α）= sinα zOo N)Y8  
hA$f$t_a  
　　cos（π-α）= -cosα rO^I)e7o-  
_qz@2j6  
　　tan（π-α）= -tanα BTes@Z  
x0gZ~92f  
　　cot（π-α）= -cotα v*ob|Wi  
L=M<@c!,w  
　　公式五： | wYv wOf  
ax6AQ{Jy  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： $5&klA]  
UYRX*%_C  
　　sin（2π-α）= -sinα #>9pF+4i  
$xvrf -Y  
　　cos（2π-α）= cosα ZAXt *=y  
y2G O*c=  
　　tan（2π-α）= -tanα <_#FKjqr3  
4 805#)  
　　cot（2π-α）= -cotα 3?.=.K'(U;  
9+srja3  
　　公式六： vR": ^19  
{UBKC)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： uXEgJK  
 \NU\\"  
　　sin（π/2+α）= cosα iAx$>+ok  
IU?kp ZD%V  
　　cos（π/2+α）= -sinα P5 Rf"C  
X'y%yeUo  
　　tan（π/2+α）= -cotα ,nT0j&SX  
QRrzBPd  
　　cot（π/2+α）= -tanα ngSVI|e  
3Q/Py ^Sc0  
　　sin（π/2-α）= cosα Xya'J]P*t  
`YtFElQ 3  
　　cos（π/2-α）= sinα ElNa;k9c Y  
j6JD0|Pp  
　　tan（π/2-α）= cotα @;VzL:  
'sJ>D)AU9  
　　cot（π/2-α）= tanα VLdDhnUGi  
U8(kYz  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [M>l)t*S  
)MV F"%d  
　　cos（3π/2+α）= sinα EG`a~V  
xI_~,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 5{UweO,F,  
Qel&)l G  
　　cot（3π/2+α）= -tanα F^ EeS  
#_Hy~se1  
　　sin（3π/2-α）= -cosα YQ"FAB  
`2x|nMi  
　　cos（3π/2-α）= -sinα >VJ o;Gs3:  
yvzN"%@  
　　tan（3π/2-α）= cotα nFb&@f  
6?L"*nU8  
　　cot（3π/2-α）= tanα IsN+Jm=F  
a. 6  
　　(以上k∈Z) /R,KMQ  
{D/t0f&}?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 R\4(e@n   
~"Xl3+#,5%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  @Y|/' '  
<#-q2 ;(]  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } A BV&}\U&  
R'BsAxs:I  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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