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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 rM8 EdC  
PHPXZL  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #r'^T#2  
<j&s'Q4s  
　　1、三角函数本质： ^ "x9?@27  
$]"z.PI>%  
　　三角函数的本质来源于定义 b2C`@%8<  
C/Qr*)/'8  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 P3?XYt^Y<  
)"qe$#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 c|$wy?JXt  
UWq%4gXb  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： QCJMNA  
Fzmf?5kJ  
　　推导： ($G/M  
3n9F]i3\  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 q2 z]Up Q  
b<fVM@x&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) eFpiS)g{K  
}Z#w95//$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 5H"IhA,  
zo&d7@J  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g7\\G9@ v  
p$n8S'  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }hw?jpW  
)Ypi1l%Y  
　　[1] ,]"g%Qi`*  
QtI1 8KI  
　　两角和公式 :b00D  
"1MW7XM<t  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Q=dy-=$]  
uq`1Kc+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  a8e,>Lf/  
cfWp,OlA  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (M %`qb`  
"M.E&ck  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Sx]Xbze  
hVK/C  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) sqvXzXH  
Oy4l3G O  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) )eM\U8Y-  
f) a*Ac"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Oq_k\]kb  
MkSVkU:S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) R0L tE  
M()MC 1  
倍角公式  tl*juo`  
G)NUJK2#8  
　　Sin2A=2SinA•CosA f)F54  
!X3LbOdp:t  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 W}ZE 7%UQ,  
3J'$27 r  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 2f i`,  
9<]7mw(F  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） SjpqZ {k  
v:Dyf/$m  
三倍角公式 ?0Od3p{NF  
jWOs-xp  
　　 /w O, um]  
;+v]NW  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -GZP*u4  
r1L#?]1!?~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) NELCn'##  
|0.v3{T  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9Rl6~Z"s4>  
Xf"{@{&X  
三倍角公式推导 -6.n[3e!U  
~o3#4\O1  
　　sin3a bI6#+c<x&  
YBp u0*  
　　=sin(2a+a) rMZE1$D  
:9<9+5((pF  
　　=sin2acosa+cos2asina 0;#sz1  
1z+V#c  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina |p#6 0?  
W{6'cQ"9  
　　=3sina-4sin³a l}J\m+xI3  
'/Tk&41[0I  
　　cos3a ,l ?X>- b  
y| {hb9$J  
　　=cos(2a+a) G8,+9{gy"  
3U(h2a9_  
　　=cos2acosa-sin2asina &h-x&nt;w  
73b.y`v9mT  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \B  -.  
hK;A>9  
　　=4cos³a-3cosa c#mUm  
Lu>lVv'  
　　sin3a=3sina-4sin³a QIpk?$  
1e\ fTY  
　　=4sina(3/4-sin²a) {7B:3$*G  
(*#7o"<]  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] B?!/4tM;8  
%vN"PjkZ7,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ooBH^O=  
s=~2s   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) OF>B*3  
e(02QKc  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4WXSQQc:oS  
J8gL.L#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) bE+;phKY  
X,z!4L^ 6  
　　cos3a=4cos³a-3cosa PCz;pHldzp  
t6FrSKZ|d  
　　=4cosa(cos²a-3/4) L(=\ekH}p  
&%ujK2d  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~+[>V  
(sn}u(W'pL  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ~*ZB(2  
cK2<l_  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Sa 8]*l0  
cbG!{ \jS  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} H#CV?J cA  
l=g}-7Rv  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) P=+s\C  
$ ^ntF  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] yH$vK }  
`|/Dfpgc  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] P~8[E;c  
u>(&OqQ  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >Ce6 Py?2  
+t9B<L)8  
　　上述两式相比可得 p7<Oz( L  
lW<P/q`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 0~ $RU  
UW.=P8EMX  
半角公式 f:# Q-4  
50|^fS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V4TwY3lmc  
Oj.> `_  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. & u&31%V(  
;]ZZ~#,g  
和差化积 |Jy7D@  
#WXA$TB`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }s,RIl)  
4*UZV}CX  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zBz6mj0i"  
u^1n!hUt  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T-Ix6|k]1  
HferUF/v  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] GmT<Q  
'wP!I&m  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) |O4c:8Q  
<,_9~Y)nuE  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %yV]m@   
s0 <jF<!d`  
积化和差 R djVcy  
DDCN#p:%"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] P8K3(  
S6?|I tKb  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yv5le`U[  
l_w~.d(So  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ?y=b})^  
zW,1V-6b  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]8ST];iSl  
ww:>+ y  
诱导公式 ]jko7LHN  
D} p=*6  
　　sin(-α) = -sinα b'#fc{jhb  
i|stmc!4  
　　cos(-α) = cosα F oT   
A: */sV2c  
　　sin(π/2-α) = cosα GF>b`4 }  
ondF2[ZpI  
　　cos(π/2-α) = sinα x?=(__  
|arhiW  
　　sin(π/2+α) = cosα 39 I  
Vk#*E)gH}-  
　　cos(π/2+α) = -sinα j1T\xmabj  
$dw ;C.Q  
　　sin(π-α) = sinα ayJ:QgC]V  
f~X%'-C-  
　　cos(π-α) = -cosα t4bhtP E#N  
QSuFz<6  
　　sin(π+α) = -sinα k3=TF,x)u  
wY#&mo[U;  
　　cos(π+α) = -cosα YOC_a-Pafo  
=uw%(dA!(  
　　tanA= sinA/cosA 3D:h<  
<ti_0 2Q  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα xOyKH @4  
[%`n XL6  
　　tan（π/2－α）＝cotα , /Q=$Q  
^o MjuY0  
　　tan（π－α）＝－tanα S |:hbk^>  
o)h cL  
　　tan（π＋α）＝tanα N"+hX{, G  
&X.>0 >/S  
万能公式 V6AxIhlC,  
O4c5@"#j2  
　　 0}O>nX%,  
PY4(.$OC  
其它公式 LywU;Zl  
#}Nin@?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 bS]gWn  
LYS0=zq  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 tT\zLt  
o<G*xExg  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 N9zC!<'  
#7 zx uF  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 H3%)R>  
oP %5=U  
　　对于任意非直角三角形,总有 G(* q8A  
UIGtFT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XhTY  
BB."a}Y  
　　证: [,kv_/!lr  
_:?5odvkr  
　　A+B=π-C EkxX`[V  
sZ04 &\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ( M m){t]  
e+O"`!+k  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 0']:  
TOhQu.+?  
　　整理可得 s4S;Q<l$  
1cB%C-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?P og>;M  
v7bT'%U  
　　得证 ~z*m*~  
RD`A*>l`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 JnlWA E  
$kOD}-  
其他非重点三角函数 [uRs/Zs|  
mzw#-]E}X8  
　　csc(a) = 1/sin(a) Rx@GZPAt  
(>T&Y/qO  
　　sec(a) = 1/cos(a) H wqdX SP  
 9e&7m   
　　 %<[dKq   
qv2b 2U  
双曲函数 nrH#W  
>Ek)JYA5!  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2  )b$N|  
?b5B0M*9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 L $OH;)~!  
e{DS865m  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Ku_ X;S  
t<GX6*jN  
　　公式一： iIv~f.  
c,$'uzqB  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5 x|8ml  
r41l?L`OS  
　　sin（2kπ＋α）= sinα LTV U90D  
$f[vaZ]  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `f``~*;G  
LzYh!ui'  
　　tan（kπ＋α）= tanα a]*T/{*%  
ciEQaE86 O  
　　cot（kπ＋α）= cotα 7^kC/ =  
{ Ts'xNk  
　　公式二： pPCl.#A+@  
9%QGxk}  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： JW.m% E3  
g ,P>7?  
　　sin（π＋α）= -sinα twb[SE_=y7  
ZwDn1uA5L  
　　cos（π＋α）= -cosα ktRXl3LA  
>u{LX8q;  
　　tan（π＋α）= tanα s23yPCY{  
l >9'pIyW  
　　cot（π＋α）= cotα >$mg/wI}n!  
1'<9+  
　　公式三： 9O/3v||h0  
+haTVoa  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ]W7c  
KP !b}=&6  
　　sin（-α）= -sinα Y{@2N \c  
hD~8Ps"DA  
　　cos（-α）= cosα [lke|^  
$c5*)2w  
　　tan（-α）= -tanα S."Rj"H\  
#]<T'0RS  
　　cot（-α）= -cotα >%=8?Cr  
puTpY&zX+  
　　公式四： @+=B(;{m:j  
siG@?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： O\zZ*dA  
!K,z8ggC  
　　sin（π-α）= sinα \W/ .U@/  
;^:>xZ  
　　cos（π-α）= -cosα mL/3@c7b1z  
/ 6q`{}wW  
　　tan（π-α）= -tanα N]&= G  
^],"9 rJ  
　　cot（π-α）= -cotα h8$"tF`n  
9^:3X ~  
　　公式五： 'x"V7eH(9-  
[$ Bt8DxC  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ( omz6[g1P  
;,]_=0n  
　　sin（2π-α）= -sinα _,XC} CB7  
8],wA,Y  
　　cos（2π-α）= cosα G!g0nakYt  
T ~rA [y  
　　tan（2π-α）= -tanα ]8 h{hNR^  
|fB)2/*G  
　　cot（2π-α）= -cotα ZUGO6I  
)y{@U+Xt*  
　　公式六： 4HCgA}C  
6M" 4a1sN  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ),,dI3  
{b"+H7rDh  
　　sin（π/2+α）= cosα oc;]6Fjq  
uE*<] z;~  
　　cos（π/2+α）= -sinα 9y8NO9'  
RsY-01>  
　　tan（π/2+α）= -cotα 1=uZ'g  
mt=G 8eB  
　　cot（π/2+α）= -tanα $I1vKT\<0  
RN}!HC/  
　　sin（π/2-α）= cosα Y]C]+sjW]  
yNYq` ng  
　　cos（π/2-α）= sinα aD}fU  
V=C @ Q\  
　　tan（π/2-α）= cotα pcHR:XS>i  
$c-n9~#O,*  
　　cot（π/2-α）= tanα 0aVX6*Ws[  
LDeo%v4/  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /N|t9Z>7(  
>n,^  
　　cos（3π/2+α）= sinα zfC4Ib<y{  
.ytpdE+U  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~2~:91x  
8Zl)1>M  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ]_~fA rJ  
#g4*2 *7@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα {t8{~Dt  
h6{'dzk?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Ou{$ E  
TVD`"5Wy  
　　tan（3π/2-α）= cotα 59Qq;z  
*5x0)s  
　　cot（3π/2-α）= tanα T2DUb5g  
V!!y3A(  
　　(以上k∈Z) ?/1UyD  
&-dv    
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @\\9 B.  
d]AWn7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  //5a@8  
zn[P~v)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } r}w:r+  
`I?-j  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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