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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 A/[*$K0_  
OWQ5{nt~E)  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. LqD }=]j  
o-SRUg4D  
  1、三角函数本质: VJI37  
+ntt?W&  
  三角函数的本质来源于定义 ;^1\K{8  
csYO&Dwk  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 TLPS #I  
c-h>i!  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 1cG]F B"  
#{23';u  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: _"}P*;j  
&'/P3  
  推导: 4R;9}p   
RR<@Ng  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 d^?Qv*  
$I5I=#sv  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) PKs_y .  
7Ze"H #  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) I*W!7*z9&  
u WilXFK  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ',o0qNJ  
:k PapF  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) T^G*z14p=  
}b{sh\om  
  [1] IDH()P+TB  
V,Qh';t  
  两角和公式 ~+zLQ|[nW"  
"ene8}g <  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB @c9Z(rr  
?1A1'UB e  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4t2CBBRC  
&-u*+rih  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 2PvLo  
i6;o<};q  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |y:# :  
zEY 8YM  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =3XR0sb  
S..ob(q  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) OzVOya #)  
>wrF MK  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  vxH Y>q4  
j ^g|AL  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) D@>&0\  
[z/CVq$31  
倍角公式 [_f.M #q!  
A42H(.@\M  
  Sin2A=2SinA•CosA /<[i #> s  
|8<z3k<Ra  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 N(!I#&  
t"?  yV  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) WWXy7y\/  
G" jL^3R  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) }>zc x+ym  
YqSlEPNP  
三倍角公式 4vvCro 0K  
W>/5>wA  
   n pY\y1  
OE1$J Q  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) A%*T7RX  
UWaH)}~tT  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) |sK7  
{,n~U#s  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /~DYg+P  
IIS;#^|  
三倍角公式推导 D4/[~7RM_  
9~-m 9*   
  sin3a =\ NXY$  
FclD"U?O8  
  =sin(2a+a) Q$I<"PY\9  
{3]1`FZQ%  
  =sin2acosa+cos2asina 6]07|c)N3  
+s7n~>~Eq/  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /V)m*b:  
"}g-]T^]  
  =3sina-4sin³a )ojHlE@F  
O(n1>6x-  
  cos3a 4Y-R1l=  
6i'i" w  
  =cos(2a+a) c+BO^]p\~U  
R]gnf37&:Y  
  =cos2acosa-sin2asina _S|%,ea;v  
i6Zph_*m  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa |Z%0CYZ>  
R`Ma%RhP>  
  =4cos³a-3cosa 8ayToCBi  
<$ut  
  sin3a=3sina-4sin³a |^SdX?>3  
: \-z?$  
  =4sina(3/4-sin²a) j@<$ EVs  
KFmc!7.%l  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] q$79W:FFg  
fBVE",  
  =4sina(sin²60°-sin²a) G2V+tW RF  
&eA*)Nd  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) w~,BMn  
.ZPSf#!fy  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] y VH=zW(d  
;F}{QlDy  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Twc73r  
~NS@8l[v  
  cos3a=4cos³a-3cosa )7]QoA'  
&,Sd6-+(  
  =4cosa(cos²a-3/4) ;[>+M@a  
6QH*FF##  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] cC/zcNP0  
9Y@i("zk  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) P1G2uY'M~  
EcV? {f$:a  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) l.eUl,  
_.k Y2  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )|hj0Qs4  
"jF z1l=A  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]F{D-a.E  
p! :q >o  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] G4*';/$  
C;"6`_h  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -i&>A0  
 zPj]d]  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) r rod,lR/  
1v?=r\4D  
  上述两式相比可得 ~%H`b'iK  
\(C  +S  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Luqenx  
W!jwj5J  
半角公式 TF@f)L:8  
%2La~TW4O  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); c{`9,e  
6B+KX )  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "(d.>e  
j?v?,OGO  
和差化积 e9.*h3~+  
]7K? h:  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <3+hTUIP  
iKq ,'Cy  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9G0^B9G  
CZPEx  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xB,RN#M ?_  
Z]>}  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n5Lu=y{n  
SN}ax7J /  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  )[+`;}  
0 Sh @ x3  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) jN4D{A] ai  
k:>`^GN9  
积化和差 JHuk%Gm(f  
 D>6?Gq  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,x Gt}#0  
?>us[d_  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5xyXU  
M#K2HU}  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q1[o%> Qk  
xa>aH7  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] z>/j-+8}  
K>MwmN$(_*  
诱导公式 ~=^fWG  
/PPKD`oP  
  sin(-α) = -sinα B.90{  
hSuWcn9N  
  cos(-α) = cosα bfN_pFgy   
/Cc]N<\su$  
  sin(π/2-α) = cosα }mV[F!>4  
udM(vCF}  
  cos(π/2-α) = sinα ph1GO 2t  
1wHxAk"  
  sin(π/2+α) = cosα 9vL @owG  
zogI%![  
  cos(π/2+α) = -sinα t?* fRU)eX  
Rx"IpYM+  
  sin(π-α) = sinα :8z;kX\wc  
w j"3d,L  
  cos(π-α) = -cosα szG,'s;[+  
$W6;$(K  
  sin(π+α) = -sinα jq9Hc1Rp3  
s/i{0$2  
  cos(π+α) = -cosα ./ 1 Pz  
\^Yx{C  
  tanA= sinA/cosA Gk57$(x  
J:P!xB(C  
  tan(π/2+α)=-cotα I2k!'VU?  
=b<F{'  
  tan(π/2-α)=cotα |Cz,ij  
w  _lE|  
  tan(π-α)=-tanα l41o}5fD  
KB(Gi[  
  tan(π+α)=tanα dP5} GPh  
;{aIrt(  
万能公式 "|}x RT 3  
>]euEP1@  
   tADa{:F$Y  
3fJKJ}e  
其它公式 {"&\N  
1&J}_GZw  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 REDFpm>58  
FaN5|z  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 |4AkCM  
qV7W-DQ  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 &iM$OXO  
+e9NU;].]  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 =>JN%u  
THh;jJ p  
  对于任意非直角三角形,总有 o :,!PRO  
=102 x4Ew  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC d~b Fqr~k  
nf - I Z !  
  证: I!a8* W"W2  
]qCLH_5  
  A+B=π-C CORZXu6 `  
kow`y9w o  
  tan(A+B)=tan(π-C) JT7,7qV9  
i~vzF5o  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 92U;1JD  
]j 6@LJ:  
  整理可得 0(o([Dj $  
gu:m0+  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i\u~* 4  
RApRAW,  
  得证 9:$tykW  
^Z|x_ @7  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 97k9h  
t d rlz  
其他非重点三角函数 g5'*7<=;  
:\]uCC1  
  csc(a) = 1/sin(a) ]&PY?@   
0If!D50d  
  sec(a) = 1/cos(a) {jEtr8UT  
gsc9 gNPuB  
   93?lC{ |  
{r4+O  
双曲函数 9MAK rI  
4wog  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 yc$Mqbk2!d  
vX%G)2E]9  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6/XFB.42j  
[Ow^tUB~  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) uJ`+$+  
lfX]%L1 g  
  公式一: wskg"n  
Avv6 6sEK  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: {cky2W  
[a}+ '|  
  sin(2kπ+α)= sinα ~EHn,F4  
&%G']U   
  cos(2kπ+α)= cosα l}FZNl}NL  
Y+}?oJw?j  
  tan(kπ+α)= tanα Y6X~Dd }C  
)3[ EZgt  
  cot(kπ+α)= cotα ^1$Tw8:qS  
A@&cLoX  
  公式二: +Cmmf}Hr  
 7]Up*jP  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: |*'cmkb  
XUPQZ  
  sin(π+α)= -sinα ;t[@"2tV+(  
v8KXM<45  
  cos(π+α)= -cosα @:_YEND!D  
N%R?xEyKx  
  tan(π+α)= tanα `~ /:J:"p  
AxJN)nXcO|  
  cot(π+α)= cotα F:(+v1  
i+ eEUH+  
  公式三: @gF^z ]  
;q+S& "  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: J:5I2cO~  
_ "cl -5M  
  sin(-α)= -sinα %p7 <Wd|#  
`,uq8hYQ:  
  cos(-α)= cosα Sjs1u}A5Za  
^FKhPcr\t  
  tan(-α)= -tanα  %VGG!}  
";]*D 2.  
  cot(-α)= -cotα \& T(I  
# z N 4  
  公式四: I&mf5*n  
,\b_7O'  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: pDs*e`XD  
uauJ2t  
  sin(π-α)= sinα jWLf J7%  
&v""\k#t]  
  cos(π-α)= -cosα  EK4AW  
.N^J `H:  
  tan(π-α)= -tanα ~M_o< ]xm  
r%8Rwk8r`g  
  cot(π-α)= -cotα ~\v `Z%  
me*x-P3x/  
  公式五: g=qx6   
f>:]j#D  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 12@$%  
nal\\"p  
  sin(2π-α)= -sinα ~ E~qyP g  
gxzJY(NAk  
  cos(2π-α)= cosα w!$M5NVWD  
5hFcL^  
  tan(2π-α)= -tanα MH=rL,Hn  
ce!2gUB  
  cot(2π-α)= -cotα R6At[Y/G=  
z!-Z<  
  公式六: - EV*'$}8  
D*^ew!  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: S&Nj4 l  
nJ"_zWMX  
  sin(π/2+α)= cosα r i.mvg!|  
E|+3 Pd  
  cos(π/2+α)= -sinα ?]}/slB0_  
57&>,f  
  tan(π/2+α)= -cotα jO, ]e@J  
.8gV("Md  
  cot(π/2+α)= -tanα "rca5d  
iBv_*k$sw  
  sin(π/2-α)= cosα 5D%[K4*  
exYjaf6lq  
  cos(π/2-α)= sinα 1< yV%X1  
7Yv)hEG~  
  tan(π/2-α)= cotα N % 8T+L  
t 5<!l  
  cot(π/2-α)= tanα vXH\8_82$4  
lGO)1 ?O[[  
  sin(3π/2+α)= -cosα OtQreJl2  
sI09+IE^  
  cos(3π/2+α)= sinα nM9X8&{_  
_Mh5hkXT  
  tan(3π/2+α)= -cotα ^pQ*KIzX  
NS.Wb&8L  
  cot(3π/2+α)= -tanα :\xN*2D2n,  
1mxg1~R<  
  sin(3π/2-α)= -cosα Eea1 z#t  
.N^ ,  
  cos(3π/2-α)= -sinα i5mnm   
o[Icx.5[G  
  tan(3π/2-α)= cotα 3jyI1'[~#  
@R}sHp1  
  cot(3π/2-α)= tanα Y67rra}b  
;rFt&x  
  (以上k∈Z) 1Pf3lHH>2  
E@-i|  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 c <~ y  
~ pZL 'Xwj  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2Xzrmi  
>,1DSlqV  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6Sg50[=  
|i=l'iO0b  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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