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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &lrpP_  
5/- Rn   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. IQ w?%  
XI\g[+  
　　1、三角函数本质： 6Mf(~<PNS  
Y Srp2#q  
　　三角函数的本质来源于定义 $SC~ Ti  
o/ H<k1 ^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 F7{^0*nIB  
Uk!&WZ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 b CF- N/-  
l|10~j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Fxs2y+%u  
%ux12 pB=  
　　推导： x5rNxxo^B  
\WFS|Nv  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 XGjlU~c  
;T5/8ox  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,(? e,ko  
|"s>(zB  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) m"dAP}Cgr  
+U<rQfZs  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 + -wP4h'  
8z!QIZI4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e<95 Y1>  
X%xE#Yd\  
　　[1] ?+eQUJ|  
b-TI8AeZy  
　　两角和公式 H-Fwr?o>  
Of3` P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB /ZrQ'v}Q  
QX#'!CD$  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $nTrHOjrP  
qTSJ@3?tb  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _yGnAe!WX  
s+V`xA/7  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7Sx p[63  
m'8/Z 0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) # Pa$t2  
g5LNihKNf  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) b"~:$N  
UJ] _IU  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n[0 mx(K  
q!z z:S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u8::Y|e  
3$NV$Lge?  
倍角公式 |JHC}@GL;}  
ci)(asrO0  
　　Sin2A=2SinA•CosA Jw^@"~s"  
A)Dz>Ir  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]}V[v  
(=*kNW  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） E/u29:Z&.  
wXTon`K  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） mw;pnT[Q  
f?'Xb02  
三倍角公式 *'=3Al7  
5$AiS}  
　　 i>?V|y)-7  
'5U9HW2%K  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) w#Yi9t<  
`DbxAWC&q  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !UgtB6y2  
mFU*!oM  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) coc~ny0h  
p3DZT wZ  
三倍角公式推导 nZ:M2Sl~  
yw7%KDK2  
　　sin3a QSf<>jpE  
LZ XmW)  
　　=sin(2a+a) ' :A7m,",8  
@a2"s3  
　　=sin2acosa+cos2asina l.M&ai  
N34.gGB&  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina DAE~25lt  
717c-N-  
　　=3sina-4sin³a KucJ1){kC:  
Zc |!,  
　　cos3a P= =fU0O  
1kXy=R4&  
　　=cos(2a+a) Ym<I#>L4  
TD#3M"X.3  
　　=cos2acosa-sin2asina  MlU0  
2 s?aG2/z{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa HFr7|#7  
Tp ?n|  
　　=4cos³a-3cosa <|eO#6Jg'  
43QwjjHV  
　　sin3a=3sina-4sin³a xJU>\R\6  
_Sv!]z2o  
　　=4sina(3/4-sin²a) 8D=MB$TJQ  
vjii"NgaM5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] f],e=R%^  
foRVPx  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s hqMgF  
mG ~89B?  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) yrp1XV<  
N#t2yo7Me  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =H{:dOj  
6BPmpIfC  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Y$mg9 .  
_SUzKjGvN  
　　cos3a=4cos³a-3cosa n>~Jy>7+  
g~??:a[  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;5uYnPi  
lde]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] = Af>u]s 5  
T!?y 6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) C-Aoco  
F @ZoWT\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) B^X:>{h  
&\&; t3(  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} RLoxPoW=D~  
JoW<+C  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) o#huG %C)  
eT>cN^ md  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~z@\{0n  
MJIu|5/  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `\ '%2.c  
-s KD~:M}'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) v*#fhW  
vu;B]I#<C  
　　上述两式相比可得 u6m$Bb  
6:.nDLxxJ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) f$Z!0'Cv  
%$g)&o.X  
半角公式 9=t`-  
m_$r}<=L*  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); .Nk>Bc&  
dSlS8}iUT  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. JqnD'D{u  
,P0Zj! <  
和差化积 Eg1gc7;i  
2=_$-m%J  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yMs 4-c>'  
`BUW} _fQ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QJXOsO@ h  
fgN,U_|e  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J0)7"%y  
~QaFV1'  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2 F9Q|GC  
B98X  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) RQ}xY}lD  
.T|twS+pS_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) WVI71   
qQd Ag  
积化和差 bGC9L!JYX  
plWJ")T  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _1%<,&LJ  
+oo(}@ 3V8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ONyF|~OK  
h+m: U^6%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] o*<Z}W  
c+}v%fq  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $ A6yIY7j  
7 #}Fx  
诱导公式 ;68]gH  
uT:j5I  
　　sin(-α) = -sinα 0rpz<Cmz  
mx:VmC 9  
　　cos(-α) = cosα &o\ Ax iv  
q|cELRQ4-  
　　sin(π/2-α) = cosα 6~T'xvH)  
f#t130FV  
　　cos(π/2-α) = sinα Q J7KB^  
HEkBo3<  
　　sin(π/2+α) = cosα w sSY3?  
?V\eF  
　　cos(π/2+α) = -sinα x377{eo`  
}2<W:m2Ap  
　　sin(π-α) = sinα c[xT8Du8hl  
74%!3SJ  
　　cos(π-α) = -cosα nx{}- V4  
YI++5Cw%  
　　sin(π+α) = -sinα 8aZ#$4b3J  
0Q!'D.Yaq  
　　cos(π+α) = -cosα :lR0.7i  
''RPom\  
　　tanA= sinA/cosA ;k{/,&7-R  
l1U/: <;J  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα an/yh+Q+5  
eDqRz"|  
　　tan（π/2－α）＝cotα z30\LJ"F&  
zg|b6M{R  
　　tan（π－α）＝－tanα 8%V&GoHc`  
aswc4}=$  
　　tan（π＋α）＝tanα [JTLX+g_y@  
hz76Y$=U  
万能公式 h3-+ql  
a(yx`  
　　 KGihHBx  
zeo~<o  
其它公式 d7'[v>Q  
?X8&-VUj  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 gUj\gch  
q\`rk  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 X,^O-pY,  
8E} pK  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ?vj] =j  
"Pc6 I  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 p '.N4h  
{zu?A  
　　对于任意非直角三角形,总有 ULF'K  
-(,/\"Xi  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,;8B`DE  
( hTZ8rYI  
　　证: H8_rKV%=  
o(-7*Y  
　　A+B=π-C `C,K25zK  
L#u! MQ69  
　　tan(A+B)=tan(π-C) _ba..JXBv  
C4\C3JG:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ad_U?KL>  
e?"3lFWH_M  
　　整理可得 O;#+Z-j3  
o_Bz ]M|k  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =D;+S*i  
^P<"zB6j/  
　　得证 m2ud%{IZ  
@cW6od  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \ LKLNDc}]  
1GQ @I&  
其他非重点三角函数 dI* Bn"  
xedEw ;VB  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z9r~=+2  
l~/`Gak  
　　sec(a) = 1/cos(a) Lx%##Nw  
? UHo/  
　　 o4 }MpZl:  
D]'17aY E?  
双曲函数 VotVNL@  
>)>8'ubQ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 AJJoMMZn)  
=%uh?d9 (P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 A0oCbnCM  
3RFc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) X;#~#H   
U.9E l  
　　公式一： 6EL~MTe  
2{@1Xgl  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .+ /F==;o  
fiBF  
　　sin（2kπ＋α）= sinα b UKtC|M8m  
RH,`h5ZQ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα wv%[^YxJ  
h6|XT6PQ'  
　　tan（kπ＋α）= tanα q=_@+Z*h{  
uA0LN!H:{  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0Vp#c_wF  
k/IA(H"K$!  
　　公式二： 9;Xb:_xtE  
TZ~1b_*6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 87 G #Si  
.v$UI8ujHI  
　　sin（π＋α）= -sinα GYJ3p{T7  
*DI1yT 17x  
　　cos（π＋α）= -cosα e; .|6z  
`-e 0lc  
　　tan（π＋α）= tanα w Ztn6j}  
]`e<C=>  
　　cot（π＋α）= cotα 8XxT@tN  
N9~@s  
　　公式三： F4 iL   
xeA(@:,uq  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： T o8YnI4Z  
#^La^]z  
　　sin（-α）= -sinα D{g 8b9  
j%^gh+Myd5  
　　cos（-α）= cosα f~&*GH2  
bhOR-%Bg  
　　tan（-α）= -tanα CE]dl*l  
"Khty`r|  
　　cot（-α）= -cotα -f8a/E}0d  
0]ek[D*9j  
　　公式四： h]kY|}I7  
wtGsu/n0n  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： OWHy L  
w0Z_hGRb  
　　sin（π-α）= sinα GS0Zz>Z  
I%Z4.}z3j  
　　cos（π-α）= -cosα JIS(3pO  
,v$Vr) .  
　　tan（π-α）= -tanα +<= 'mw  
~56De>V  
　　cot（π-α）= -cotα M%YLe(jCD  
^3@%G"sL^  
　　公式五： t_*rOGCh>G  
U<f'GI  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ! nl `nv  
0J/Fj="G%  
　　sin（2π-α）= -sinα &73_&  
?\jK[>@T&$  
　　cos（2π-α）= cosα E"_ m  
0>hMx6gl  
　　tan（2π-α）= -tanα _bL4C-j.jA  
<_%QEk  
　　cot（2π-α）= -cotα w,l"qJ9R  
(Zr%XJU6  
　　公式六： fW4 2)rY  
E)4AD5  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ]NzKT7!  
K2QCm#Q9  
　　sin（π/2+α）= cosα @5{z+-   
`\- U,  
　　cos（π/2+α）= -sinα !\6EgA@  
,<v'#6G\j"  
　　tan（π/2+α）= -cotα k}t@l"znE  
wV+~<CbD;  
　　cot（π/2+α）= -tanα ji&rTn%&  
VAT;kk.7l  
　　sin（π/2-α）= cosα EI9dZ7))  
t!bm;l\  
　　cos（π/2-α）= sinα  9Ml3  
@IN(#pX%  
　　tan（π/2-α）= cotα :+o [ kK<i  
yU,PBPq  
　　cot（π/2-α）= tanα %|^doO  
qPTT|~1+'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @oxQ\)%EC2  
13ofewA   
　　cos（3π/2+α）= sinα 4:ulDS^  
_x*(<2b(  
　　tan（3π/2+α）= -cotα M`h&UB`)  
OyPv#=F t`  
　　cot（3π/2+α）= -tanα J#ks:+.  
'pLEi_x'd  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \NE02+!:  
kO?ddw  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :zj*vR2##]  
NTXig&  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]Y^`B^sv3  
~MB/XxTh  
　　cot（3π/2-α）= tanα JX_%>d\v  
9!*mb:  
　　(以上k∈Z) AE$z  
iR{Kp)wr8Q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Exs u!dB  
7d#5b@pH  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = b:%dEI Z6  
yu * q9A  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M<'$ k_j  
]U=E?| <  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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