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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 z?U> Q\z  
cn8jjq|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. >AFp= ?B  
JRZIW%C +  
　　1、三角函数本质： ADt;hhG  
."Xl u  
　　三角函数的本质来源于定义 ]"Uh K  
LA:Vx}b-ag  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !VRa[j%E2  
|7/ $:[.  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 xeq SQ=Lf  
UI.{m%P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1Wpnl:c  
zuvmn6  
　　推导： JLb6']z|~  
_MZGLf  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {Ya0  
RP,{fD w*K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o8EH@V  
]km0ijuW6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) "-{qdy~=e  
67>OOie8H  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 dgSCwRB5  
z4Yz2+;  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） =Xp=k }Jn  
&xz5q8  
　　[1] x8S:*vK4E  
Ly'%/-J  
　　两角和公式 aH4W !+y@:  
_yIQu  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB eJtp2O7n  
:bLsp  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  5\ *?  
$.LnQq T1  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B ]pI@4  
qs_A6*M,F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB sxnC*g  
lZ tZ2 )O  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 3]V()7 p  
jR+ ~kC  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jqt0&i^  
c 5>& =  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  82(b;1 X  
':a.Sm;  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dkL !8J  
0A7_Vy$84!  
倍角公式 ^aCPq z  
m` r [K  
　　Sin2A=2SinA•CosA L{PJP~|)  
)e`<o )  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~'.%g[3  
Us# :fr  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） KN 7!qA{  
v9Pl1_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） "=:WE{*cV  
xSa#]F7A  
三倍角公式 > lyrO*  
oDl+(+Tx`E  
　　 N\|7kxYd  
j?XhlvL4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) NpzB]mr  
lL%3=?&x \  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) d2{WX3N&8  
sU"rry  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9)@>y6l  
17ZO0$ 0Z  
三倍角公式推导 @W!VlHy\S  
.:C2lbGD  
　　sin3a -T@!F,V[|"  
_hB ~|b  
　　=sin(2a+a) N9L]2x+D1  
~[^$ @  
　　=sin2acosa+cos2asina t3dKOX0  
*ZY>Upf  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p-G0 3QX  
H||q.p_m]  
　　=3sina-4sin³a &qZ, hl'  
6?| .T?;  
　　cos3a >&Vq>aK1[  
?g1@W}H/  
　　=cos(2a+a) ]@efGIX Pf  
)|kzB2km  
　　=cos2acosa-sin2asina z#t"&""M1  
U D!=y`1t  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \LtBZDGj  
6lB r(/~[  
　　=4cos³a-3cosa 0A, x }{  
[0;U|y 2p  
　　sin3a=3sina-4sin³a <x=yo$`m  
1 ,R 5[3-%  
　　=4sina(3/4-sin²a) jGQ(9d  
5]gO8OKv^<  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] | 4=<6S  
^Ye A_O  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) F2b }!hs  
m@#'t^aSr  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ?VP p66zl^  
) R0;6X7I  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] bqwU5Qq0  
3LHH^v y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) M}M>tG!v  
6hSth@A  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E{ 44s/&/  
uwAr.s\9  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _:jgQ<B  
>imj-L4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] E_U6. vdq  
"8 Q@!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) O>MQQXym  
9w~{a  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) p3[ S{1  
a9j# n  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} GCo-O6$z  
k^Lm,U6k N  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 6Z~m#M?8k  
m5FW#oI]b  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1{8{ W3 D  
jbWQ67z5  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] vq-[U^ 6  
l (=/tT9r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) H9 >PaY'/  
?408/L`  
　　上述两式相比可得 pw!(Z Wq  
$<c8XQ}%  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) U.ns[(R"^  
sJAq:8mSj  
半角公式 y:=B;y7  
p1&j(jC)}w  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); d\^zd  
'Wj] @T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Fga07TDM  
N#m!5aiw  
和差化积 [1u0sY|w@  
S0q^d'!g2  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8NuMi4[_  
CGMU4  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hV\ /r|,H  
NzO^hmm^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Rw.|DF'  
jl$L\I@;r  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c`(aP3Z  
 R+BG7%`  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) L6t?Xy>  
ngE]"7;1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) i\k 9\rb  
~\0?(*t*  
积化和差 :6Ly,hB=  
NUN#TT}V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] $.gpbpZBub  
sYZ ~Y<  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .sI#A  
e5PDd1m%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] mpmLax>  
m>f_3/2  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x/ LFj  
R-/x JQc  
诱导公式 &ryi0|bS[  
3# evf1 Y  
　　sin(-α) = -sinα %0x]Bd^3G  
osf9X[)av  
　　cos(-α) = cosα h*(c/U8>  
l%y^b1M^i  
　　sin(π/2-α) = cosα X/K ADNw  
;PH ,Oq^'  
　　cos(π/2-α) = sinα d A tw}  
"AS=#U  
　　sin(π/2+α) = cosα  V(@ |4  
-"E6-Gw  
　　cos(π/2+α) = -sinα b| Ck,H  
>|O: Yfi4  
　　sin(π-α) = sinα ?+ %y}  
oFlh\ ibf  
　　cos(π-α) = -cosα NKaiHOKSp  
:!Q)`!e/  
　　sin(π+α) = -sinα Q;E6g`>  
u z^w  
　　cos(π+α) = -cosα 9 iTb&H  
MwVKP)\  
　　tanA= sinA/cosA ^8Y3q&*~  
4G2 nN4[  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *B>YbXaK[  
O-:O?? (R  
　　tan（π/2－α）＝cotα WZ ONmUGu9  
< ^f;,KCS  
　　tan（π－α）＝－tanα 8-; : O  
n$;uT/   
　　tan（π＋α）＝tanα EV\kouOMz&  
H^}UV4c  
万能公式 wWTRXUI  
mYz)Y_"cn|  
　　 R~|x'r  
!0g9R3XfA  
其它公式 xY5zC W  
}D,FLH  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0?.S xN&  
L1BiB w\y  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [*QJ,25)  
"`iy,<oLvI  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Kg\j0C  
;i`O-lVb@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 =t:@I>p  
~ X< 4mV8  
　　对于任意非直角三角形,总有 L$8MPJ#  
Z9Dxf; l/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &%6$*-f(  
\H?:C6sb  
　　证: -I Jk +[  
+y^E8',*  
　　A+B=π-C %olsmq<&  
s@^*6Naw  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `(x?+8  
T  L|AK  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) IIb7M9]$G  
?EG`hUZ  
　　整理可得 Cs--X'gv  
<; m_.Ig  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC X DWA!  
#PoRz I&Q  
　　得证 Q\?vjRC  
.(/cr,RtX}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 OIz!\  
t Cu0*vnM  
其他非重点三角函数 XbtrA/uX  
b% " 1J)S  
　　csc(a) = 1/sin(a)  !uP AG  
&YaBi*<m,  
　　sec(a) = 1/cos(a) kXd?N[%T  
0l(Sfy7\  
　　 Owe~R[)@D  
"6"NbNlav  
双曲函数 U16~}V1s  
1kfC(%W_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1O/4S@HO  
= 6'T#Y @"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 `]1%Xo\Eb  
mC4)bsw[I  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) McRH71A0  
a[.u&&0^  
　　公式一： wcC~P%tY  
C^^#b(us7X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &zZ7mXN>  
;*Suwg[ fa  
　　sin（2kπ＋α）= sinα tMN<`5m  
%T RX?NPP  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ,I?;Kdve3  
G5@L`i@ K  
　　tan（kπ＋α）= tanα |'ZG]DTKD  
IY?m{cw  
　　cot（kπ＋α）= cotα R~h  
qXI1C1  
　　公式二： n7<P)GQF8  
L?(^5mQ)`c  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1-J);KW  
1v%Da]"f  
　　sin（π＋α）= -sinα t57E>)HpB  
E :U ng_  
　　cos（π＋α）= -cosα @"m7*kk?  
c2_vl3l  
　　tan（π＋α）= tanα 2/=h22^I  
^iAIyV  
　　cot（π＋α）= cotα 0?$n<Jcy  
P1)@n]N  
　　公式三： 4Hf2EFmo  
yvLgu/  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： R#M} 1T W  
63MG%>N  
　　sin（-α）= -sinα td c*<< W  
3 <NDW  
　　cos（-α）= cosα D0`</;<  
F@fEM[;i5  
　　tan（-α）= -tanα Alw`f7q  
GCRC6xG.*  
　　cot（-α）= -cotα @#`n4@Ix  
P%*T*O@)O  
　　公式四： FbOq}AZh7  
Q 'QuR[(  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e{ 7 k:s  
muc3Qd3 g;  
　　sin（π-α）= sinα DSL{h}YvY  
}AcWEm  
　　cos（π-α）= -cosα Y&"MO 0@  
-c?1sr0D  
　　tan（π-α）= -tanα 50 drX"1  
~ qi ' q1  
　　cot（π-α）= -cotα 9 9-@7s;dA  
/f>2]V_`'-  
　　公式五： h*(Xx  
0>t(X%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： H= '4$-ny  
QZ%D  
　　sin（2π-α）= -sinα 7GSAx?a  
Lq$FC~f  
　　cos（2π-α）= cosα 6c/].&Rt  
4GS y}v  
　　tan（2π-α）= -tanα  'A;ToO  
1gl`'Ea@  
　　cot（2π-α）= -cotα 4:$p<j'p  
DC[.jO+  
　　公式六： 3i`_;&GX%[  
q!wOq  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： jVPisLrXV  
0(e=$[9rn  
　　sin（π/2+α）= cosα DHqgm/  
=R+/s7  
　　cos（π/2+α）= -sinα !~vB:D/zo  
}e6r'Bw]F  
　　tan（π/2+α）= -cotα %WL6BfJ}!  
"f}wrE#  
　　cot（π/2+α）= -tanα =M@jLj.#  
,&FAlRAH  
　　sin（π/2-α）= cosα MoM.;~K^K  
9-RR}oRNTF  
　　cos（π/2-α）= sinα KQZF?M)j5  
y,w!"aU  
　　tan（π/2-α）= cotα [MKX!bq~1  
sc=g P2<=  
　　cot（π/2-α）= tanα <ZH#fIC  
Zj)Vem[ ^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα {(sS[u1[9  
NOG[A  
　　cos（3π/2+α）= sinα aZmC M y[  
/u`+U3%S'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Om3[:y>;p  
tS+Whk  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +Hh;7W  
y{fRNJjL   
　　sin（3π/2-α）= -cosα N?z7Ib  
+AQ=~SjB  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Q# !wz  
mPoU>,s_*  
　　tan（3π/2-α）= cotα TK=4e-v?  
.9>Z l^  
　　cot（3π/2-α）= tanα .7XF i  
pNXmSskh  
　　(以上k∈Z) /}%C]  
g wQ=tR  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0K)3yK,}   
8$Ok H>f  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G5W$ct+y  
=@r)Lp,s)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ycI{I]  
?H(]T{ _  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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